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微分係数（ 定義 ）

1. 概要

ある関数の特定の一点における，瞬間の変化率（グラフの場合接線の傾き）を示す．

2. 定義

微分係数f′(a)f'(a)が存在するとき，

lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=f′(a)\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a)

または

lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=f′(a)\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = f'(a)

3. 図形的性質

微分係数はx=ax=aからx=a+hx=a+hまでの平均変化率を用いて，

f(a+h)−f(a)h→f′(a)(h→0)\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \to f'(a) (h \to 0)

であるから，関数y=f(x)y=f(x)のx=ax=aにおける微分係数f′(a)f'(a)は，hhが限りなく00に近づくことで，y=f(x)y=f(x)上の点(a,f(a))(a, f(a))における接線の傾きを表すから，接線の方程式は

y−f(a)=f′(a)(x−a)y - f(a) = f'(a)(x-a)

また，f′(a)≠0f'(a) \neq 0の場合，法線の方程式は

y−f(a)=−1f′(a)(x−a)y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x-a)

2曲線が接する条件

xx座標をα\alphaとする接点で，接線が一致すると考え，

{f(a)=g(a)f′(a)=g′(a)\begin{cases} f(a)=g(a) \\ f'(a)=g'(a) \end{cases}